情報数学 I

第九回: ブール代数

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

テュールスト マーティン ヤコブ

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2005/Math%20I/lecture9.html

© 2005 Martin J. Dürst 青山学院大学

参考書 (更新)

ブール代数

(boolean algebra)

• 論理演算、集合演算、半順序の「交差点」
• B = (B, 0, 1, ¬, ∧, ∨) は次の条件でブール代数となる:
  • 0 ∈ B, 1 ∈ B
  • ¬ はB上の単項演算、∧ と∨は二項演算
  • ∧と∨について交換率、結合率と分配率が成り立つ
  • a ∈ B の場合に a ∨ 0 = a, a ∧1=a が成り立つ
  • a ∈ B の場合に a ∨¬a = 1, a ∧¬a = 0
• 注意: 0、1、∧ などは代表で、直接の意味を持たない

ブール代数の例 (1): 集合演算

• B は (有限) 集合 U のベキ集合
• 0 は空集合
• 1 は U
• ¬ は補集合演算
• ∧ は積集合演算
• ∨ は和集合

ブール代数の例 (2): ビット毎演算

• B は
• 0 は
• 1 は
• ¬ は
• ∧ は
• ∨ は

ブール代数の例 (3)

• B は
• 0 は
• 1 は
• ¬ は
• ∧ は
• ∨ は

有限ブール代数の構造

• 有限ブール代数は全て |B| = 2ⁿ である
• 有限ブール代数は全て同じ構造である (n 次元の立方体の辺)

数の表現: 10進法

205 = 2×10² + 0×10¹ + 5×10⁰

34.56 = 3×10¹ + 4×10⁰ + 5×10^-1 + 6×10^-2

数の表現: 2進法

1010011 = 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ =

数の表現: 16進法

1AF = 1×16² +A×16¹ +F×16⁰ =

2 の何乗

基数変換

n 進数から 10 進数: それぞれの桁の値と桁の重みの積の和

10 進数から n 進数:

23 = 11×2¹ + 1×2⁰ = 5×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 2×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 10111

繰り返し n で割って、余りを最下位の桁にすることを繰り返す

n 進数から m 進数:

• 10 進数経由で変換
• n が m の何乗 (もしくは逆) の場合、桁を組み合わせて、組み毎に変換

情報テクノロジーでよく使う基数

2 進数と 16 進数の対応